Một kết quả cơ bản trong đại số tuyến tính đó là hạng hàng và hạng cột của một ma trận là đồng nhất với nhau. Có nhiều chứng minh đã được đưa ra. Một trong những chứng minh đơn giản nhất đã được phác trong mục trên. Sau đây là một biến thể của cách chứng minh này:

Dễ chỉ ra rằng thực hiện các phép biến đổi hàng sơ cấp không làm thay đổi cả hạng hàng và hạng cột. Bởi vì phép khử Gauss chính là thực hiện các phép biến đổi hàng sơ cấp, dạng hàng bậc thang rút gọn của ma trận có cùng hạng hàng và hạng cột với ma trận ban đầu. Tiếp tục thực hiện các biến đổi sơ cấp trên cột để đưa ma trận về dạng một ma trận đơn vị có thể với các hàng và cột toàn số 0 ở xung quanh. Một lần nữa, thao tác này không làm thay đổi hạng hàng hay hạng cột. Ta thấy ngay hạng hàng và hạng cột của ma trận kết quả này đều bằng nhau và bằng số phần tử khác 0 trong nó.

Sau đây trình bày hai chứng minh khác của kết quả này. Chứng minh thứ nhất sử dụng các tính chất cơ bản của tổ hợp tuyến tính của các vectơ, và vẫn đúng với trường bất kỳ. Chứng minh này dựa trên Wardlaw (2005).[7] Chứng minh thứ hai sử dụng tính trực giao và vẫn đúng với ma trận trên trường số thực; dựa trên Mackiw (1995).[2] Cả hai chứng minh có trong sách của Banerjee và Roy (2014).[8]

Chứng minh sử dụng tổ hợp tuyến tính

Cho A là một ma trận m × n. Ký hiệu hạng cột của A là r, và c1, …, cr là một cơ sở bất kỳ của của không gian cột của A, đặt vào các cột của một ma trận C có kích thước m × r. Mỗi cột của A có thể được biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính của r cột trong C. Điều này có nghĩa là tồn tại một ma trận R cỡ r × n sao cho A = CR. R là ma trận mà cột thứ i của nó gồm các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của r vectơ cột của C để tạo ra cột thứ i của A. Nói cách khác, R là ma trận chứa các bội của các vectơ cơ sở của không gian cột của A, còn C là ma trận gồm các vectơ cơ sở đó, hai ma trận này kết hợp để tạo ra A. Bây giờ, ta có mỗi hàng của A được cho bởi một tổ hợp tuyến tính của r hàng trong R. Vì vậy các hàng của R lập thành một hệ sinh của không gian hàng của A, và theo bổ đề trao đổi Steinitz, hạng hàng của A không thể vượt quá r. Điều này chứng tỏ rằng hạng hàng của A chỉ có thể là nhỏ hơn hoặc bằng hạng cột của A. Kết quả này có thể được áp dụng đối với ma trận bất kỳ, vì thế có thể áp dụng với chuyển vị của A. Vì hạng hàng của chuyển vị của A là hạng cột của A và hạng cột của chuyển vị của A là hạng hàng của A, chúng ta cũng có bất đẳng thức với chiều ngược lại, suy ra hạng hàng và hạng cột của A phải bằng nhau. (Xem thêm Phân tích hạng.)

Chứng minh sử dụng tính trực giao

Cho A là một ma trận m × n với các phần tử là số thực với hạng hàng là r. Do đó, số chiều của không gian hàng của A là r. Gọi x1, x2, …, xr là một cơ sở của không gian hàng của A. Ta khẳng định rằng các vectơ Ax1, Ax2, …, Axr là độc lập tuyến tính. Để chứng tỏ, xét một liên hệ đồng nhất tuyến tính với các vectơ trên với các hệ số vô hướng c1, c2, …, cr:

0 = c 1 A x 1 + c 2 A x 2 + ⋯ + c r A x r = A ( c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c r x r ) = A v , {\displaystyle 0=c_{1}A\mathbf {x} _{1}+c_{2}A\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}A\mathbf {x} _{r}=A\left(c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r}\right)=A\mathbf {v} ,}

trong đó v = c1x1 + c2x2 + ⋯ + crxr. Ta quan sát rằng: (a) v là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong không gian hàng của A, suy ra v thuộc không gian hàng của A, và (b) vì Av = 0, vectơ v trực giao với mọi vectơ hàng của A và, vì vậy, cũng trực giao với toàn bộ các vectơ trong không gian hàng của A. Từ (a) và (b) ta suy ra v trực giao với chính nó, điều này dẫn đến v = 0 hay là, theo định nghĩa của v,

c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c r x r = 0. {\displaystyle c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r}=0.}

Nhưng nhớ rằng xi được chọn là các vectơ cơ sở của không gian hàng của A và vì vậy độc lập tuyến tính. Suy ra c1 = c2 = ⋯ = cr = 0. Vậy Ax1, Ax2, …, Axr cũng độc lập tuyến tính.

Đến đây, ta thấy mỗi vectơ Axi hiển nhiên là thuộc không gian cột của A. Vì thế, Ax1, Ax2, …, Axr là một tập hợp r vectơ độc lập tuyến tính trong không gian cột của A, suy ra số chiều của không gian cột của A (hay hạng cột của A) phải ít nhất bằng r. Điều này cho thấy hạng hàng của A không lớn hơn hạng cột của A. Bây giờ áp dụng kết quả này với chuyển vị của A để được bất đẳng thức chiều ngược lại và kết thúc như chứng minh trước.